第二章 數(shù)量關(guān)系--數(shù)學(xué)運(yùn)算

　　第二節(jié) 數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)

　　一、數(shù)的特性

　　數(shù)的特性，指的是整數(shù)的各種性質(zhì)，是一個(gè)數(shù)自身所具有的特性，包括：數(shù)的整除特性、數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)、數(shù)的奇偶性和質(zhì)合性、數(shù)的同余、自然數(shù)n次方尾數(shù)變化等。這些特性是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最基礎(chǔ)的知識(shí)，在公務(wù)員考試中雖不直接考查，但靈活運(yùn)用對(duì)快速解題幫助很大。這一小節(jié)中的知識(shí)點(diǎn)比較瑣碎，系統(tǒng)性并不是很強(qiáng)，需要考生多加記憶，牢固掌握。

　�。ㄒ唬�數(shù)的整除特性

　　兩個(gè)整數(shù)a、b，如果a÷b，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a。

　　1.數(shù)的整除檢定

　　部分自然數(shù)整除檢定性質(zhì)

　　2.數(shù)的整除性質(zhì)

　�。�1）若數(shù)a能被c整除，數(shù)b能被c整除，則a+b、a-b均能被c整除。

　�。�2）若數(shù)a能被c整除，m為任意整數(shù)，則a·m也能被c整除。

　�。�3）若數(shù)a能被b整除，數(shù)a能被c整除，且b和c互質(zhì)，則數(shù)a能被b·c整除。

　　3.完全平方數(shù)

　　一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的平方，那么我們就稱(chēng)這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。常見(jiàn)的完全平方數(shù)有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。有些題目可以利用完全平方數(shù)快速定位答案。

　　例題1：

　　有一食品店某天購(gòu)進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當(dāng)天只賣(mài)出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購(gòu)進(jìn)了（ ）公斤面包。

　　A．44B．45

　　C．50D．52

　　【解析】本題的突破口在于“剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍”，說(shuō)明剩下的餅干和面包的重量和應(yīng)該是3的倍數(shù)，而6箱食品的總重量8+9+16+20+22+27=102公斤為3的倍數(shù)，故賣(mài)出的那箱面包的重量也為3的倍數(shù)，則重量只能是9或27公斤。

　　如果賣(mài)出的那箱面包重量為9公斤，那么剩下的面包總重量為（102-9）÷3=31公斤，沒(méi)有合適的重量組合滿(mǎn)足條件，排除。

　　如果賣(mài)出的那箱面包重量為27公斤，那么剩下的面包總重量為（102-27）÷3=25公斤，正好有25=9+16滿(mǎn)足條件，則購(gòu)進(jìn)面包的總重量為27+25=52公斤。所以正確答案為D。

　　例題2：

　　修剪果樹(shù)枝干，第1天由第1位園丁先修剪1棵，再修剪剩下的，第2天由第2位園丁先修剪2棵，再修剪剩下的，……，第n天由第n位園丁先修剪n棵，結(jié)果n天就完成，問(wèn)如果每個(gè)園丁修剪的棵數(shù)相等，共修剪了（ ）果樹(shù)。

　　A.46棵 B.51棵

　　C.75棵 D.81棵

　　【解析】本題從正面入手，通過(guò)“每個(gè)園丁修剪的棵數(shù)相等”這一條件，列出方程，可以直接得出答案。但是運(yùn)用完全平方數(shù)性質(zhì)，可以更快地得到答案。

　　“第n天由第n位園丁先修剪n棵，結(jié)果n天就完成”，說(shuō)明第n位園丁修剪了n棵，而每個(gè)園丁修剪的棵數(shù)相等，故果樹(shù)一共有n×n=n2棵，即棵數(shù)為完全平方數(shù)。選項(xiàng)中只有D項(xiàng)是完全平方數(shù)。所以正確答案為D。

　　（二）數(shù)的約數(shù)和倍數(shù)

　　兩個(gè)整數(shù)a和b，如果a能被b整除，那么我們稱(chēng)a是b的倍數(shù)，或者說(shuō)b是a的約數(shù)。

　　如果c是a的約數(shù)，c也是b的約數(shù)，那么我們稱(chēng)c是a和b的公約數(shù)，其中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱(chēng)為這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。多個(gè)數(shù)之間的公約數(shù)和最大公約數(shù)也可以用類(lèi)似方法定義。

　　如果c是a的倍數(shù)，c也是b的倍數(shù)，那么我們稱(chēng)c是a和b的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)正的公倍數(shù)，稱(chēng)為這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。多個(gè)數(shù)之間的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)也可以用類(lèi)似的方法定義。

　　例題3：河北行測(cè)真題

　　在1至1000的自然數(shù)中，既不是4的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？

　　A．600 B．550C．500 D．450

　　【解析】在1-1000中，4的倍數(shù)有1000÷4=250個(gè)，5的倍數(shù)有1000÷5=200個(gè)，4和5的公倍數(shù)（即20的倍數(shù)）有1000÷20=50個(gè)，故4或5的倍數(shù)共有250+200-50=400個(gè)，所以既不是4的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有1000-400=600個(gè)。選擇A。

　�。ㄈ�）數(shù)的奇偶性與質(zhì)合性

　　數(shù)的奇偶性與質(zhì)合性定義

　　需要注意的幾點(diǎn)：

　　1.性質(zhì)１：奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù) 偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)

　　性質(zhì)2：奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù) 偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)

　　性質(zhì)3：奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù) 偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)

　　性質(zhì)4：奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)

　　總之：加法/減法--同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇

　　乘法--乘數(shù)有偶則為偶，乘數(shù)無(wú)偶則為奇

　　2.1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)

　　2是唯一的偶質(zhì)數(shù)

　　例題4：

　　某地勞動(dòng)部門(mén)租用甲、乙兩個(gè)教室開(kāi)展農(nóng)村實(shí)用人才培訓(xùn)。兩教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。兩教室當(dāng)月共舉辦該培訓(xùn)27次，每次培訓(xùn)均座無(wú)虛席，當(dāng)月共培訓(xùn)1290人次。問(wèn)甲教室當(dāng)月共舉辦了多少次這項(xiàng)培訓(xùn)？

　　A．8B．10C．12D．15

　　【解析】本題數(shù)據(jù)之間關(guān)系簡(jiǎn)單，可以直接使用方程法，得到一元一次方程、二元一次方程組或者二元一次不定方程。此題利用奇偶性得到不定方程最為簡(jiǎn)便，完全不需要計(jì)算。

　　甲教室每次培訓(xùn)50人，乙教室每次培訓(xùn)45人，設(shè)甲教室培訓(xùn)了x次，乙教室培訓(xùn)了y次，則50x+45y=1290。由于50x、1290都是偶數(shù)，則45y必須是偶數(shù)，那么y是偶數(shù)，而x與y之和為奇數(shù)，則x為奇數(shù)，選項(xiàng)中只有D項(xiàng)是奇數(shù)。所以正確答案為D。

　　例題5：

　　共有920個(gè)玩具交給兩個(gè)車(chē)間制作完成。已知甲車(chē)間每個(gè)人能夠完成17個(gè)，乙車(chē)間每個(gè)人能夠完成23個(gè)，現(xiàn)已知甲、乙兩車(chē)間共有四十多人，問(wèn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多多少人？

　　A．0B．1C．2D．-2

　　【解析】此題數(shù)量之間的關(guān)系不復(fù)雜。可以列出不定方程，利用質(zhì)合性來(lái)解出方程。

　　設(shè)甲車(chē)間有x人，乙車(chē)間有y人，則17x+23y=920。

　　23y和920都能被23整除，則17x能被23整除，而17和23互質(zhì)。

　　則x能被23整除，而兩個(gè)車(chē)間人數(shù)為四十多人，則x=0、23或46。

　　若x=0，則y=40，x+y=40，不符合題意，舍去；

　　若x=23，則y=23，x+y=46，滿(mǎn)足題意，此時(shí)x-y=0，選擇A；

　　若x=46，則y=6，x+y=52，也不符合題意，舍去。

　　所以正確答案為A。

　�。ㄋ模┩�余與剩余問(wèn)題

　　1.余數(shù)性質(zhì)

　　在整數(shù)的除法中，只有整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時(shí)，就產(chǎn)生余數(shù)。

　　被除數(shù)（a）÷除數(shù)（b）=商（c）……余數(shù)（d），其中a、b、c均為整數(shù)，d為自然數(shù)。

　　其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即0≤d＜b。

　　例題6：河北行測(cè)真題

　　一個(gè)小于200的數(shù)，它除以11余8，除以13余10，那么這個(gè)數(shù)是多少？

　　A．118B．140C．153D．162

　　【解析】方法一，設(shè)這個(gè)數(shù)為x，已知x除以11余8，則x+3是11的倍數(shù)；已知x除以13余10，則x+3是13的倍數(shù)，故x+3是11、13的公倍數(shù)。又知11、13的最小公倍數(shù)為11×13=143，那么在小于200的數(shù)中，只有140滿(mǎn)足以上要求。所以正確答案為B。

　　方法二，代入排除法，將選項(xiàng)代入，符合題干要求的即為所求。

　　2.同余

　　兩個(gè)整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱(chēng)a、b對(duì)于m同余。

　　例如：71除以6的余數(shù)是5，29除以6的余數(shù)也是5，則稱(chēng)71與29對(duì)于6同余。

　　對(duì)于同一個(gè)除數(shù)m，兩個(gè)數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余，兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。

　　例如：23除以5的余數(shù)是3，16除以5的余數(shù)是1

　　23+16=39，3+1=4，則39除以5的余數(shù)與4同余

　　23-16=7，3-1=2，則7除以5的余數(shù)與2同余

　　23×16=368，3×1=3，則368除以5的余數(shù)與3同余

　　3.剩余問(wèn)題

　　在我國(guó)古代算書(shū)《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”意思是，一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？這類(lèi)問(wèn)題在我國(guó)稱(chēng)為“孫子問(wèn)題”，也稱(chēng)為剩余問(wèn)題。

　　解剩余定理最常用的方法是代入排除法。

　　例題7：

　　有一個(gè)自然數(shù)“X”，除以3的余數(shù)是2，除以4的余數(shù)是3，問(wèn)“X”除以12的余數(shù)是多少？

　　A．1B．5C．9D．11

　　【解析】由題意得“X+1”同時(shí)能被3和4整除，即“X+1”能被12整除，則“X”除以12余11。所以正確答案為D。

　�。ㄎ澹┳匀粩�(shù)n次方尾數(shù)變化情況

　　在應(yīng)用尾數(shù)法時(shí)，考生應(yīng)該結(jié)合自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化進(jìn)行解題。

　　一個(gè)自然數(shù)n次方的尾數(shù)等于它尾數(shù)n次方的尾數(shù)，因此我們只需要考慮0-9的n次方尾數(shù)變化規(guī)律即可。

　　0n的尾數(shù)始終是0

　　1n的尾數(shù)始終是1

　　2n的尾數(shù)以“2、4、8、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　3n的尾數(shù)以“3、9、7、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　4n的尾數(shù)以“4、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為2

　　5n的尾數(shù)始終是5

　　6n的尾數(shù)始終是6

　　7n的尾數(shù)以“7、9、3、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　8n的尾數(shù)以“8、4、2、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　9n的尾數(shù)以“9、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為2

　　例題8：

　　20082008+20092009的個(gè)位數(shù)是：

　　A．3B．5C．7D．9

　　【解析】易知20082008的尾數(shù)是由82008的尾數(shù)確定的，8n的尾數(shù)是以8、4、2、6這4個(gè)數(shù)為周期進(jìn)行變化，2008能整除4，82008的尾數(shù)就相當(dāng)于84的尾數(shù)，為6；20092009的尾數(shù)由92009的尾數(shù)確定，9n的尾數(shù)是以9、1這2個(gè)數(shù)為周期進(jìn)行變化的，可知92009的尾數(shù)為9。6+9=15，個(gè)位數(shù)為5。正確答案為B。

　　二、常用計(jì)算技巧

　　無(wú)論是單純的算術(shù)式子，還是文字型應(yīng)用題，一般來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)題干的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確分析以后，最終都被轉(zhuǎn)化為對(duì)算式或者方程的處理和計(jì)算。因此，理解和掌握大量的計(jì)算技巧，對(duì)提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的解題速度至關(guān)重要。下面介紹幾種常用的計(jì)算技巧。

　�。ㄒ唬┪矓�(shù)法

　　尾數(shù)法是指在不直接計(jì)算算式各項(xiàng)值的情況下，只計(jì)算算式各項(xiàng)的尾數(shù)，得到結(jié)果的尾數(shù)，從而確定選項(xiàng)中符合條件的答案的方法。尾數(shù)法一般適用于加、減、乘（方）這三種情況的運(yùn)算。一般選項(xiàng)中四個(gè)數(shù)的尾數(shù)各不相同時(shí)，可以?xún)?yōu)先考慮尾數(shù)法。

　　兩個(gè)數(shù)的尾數(shù)之和等于和的尾數(shù)，兩個(gè)數(shù)的尾數(shù)之差等于差的尾數(shù)，兩個(gè)數(shù)的尾數(shù)之積等于積的尾數(shù)。

　　尾數(shù)本質(zhì)上是原數(shù)除以10的余數(shù)，尾數(shù)法本質(zhì)上是同余的性質(zhì)。

　　特別提示：算式中如果出現(xiàn)除法，請(qǐng)不要使用尾數(shù)法。

　　例題1：

　　7643×2819-7644×2818的值是：

　　A.4825B.4673C.5016D.5238

　　【解析】此題直接計(jì)算的話(huà)計(jì)算量很大，考慮到算式本身是由減法和乘法組成，且選項(xiàng)中各項(xiàng)尾數(shù)均不相同，因此考慮采用尾數(shù)法。則所求結(jié)果的尾數(shù)應(yīng)該與3×9-4×8=-5相同，-5的尾數(shù)是5，只有A項(xiàng)符合。

　�。ǘ�）棄九法

　　與尾數(shù)法類(lèi)似的方法還有“棄九法”。把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)（和是9，要減去9得0），這個(gè)數(shù)就叫做原數(shù)的棄九數(shù)，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，則146357的棄九數(shù)是8。當(dāng)尾數(shù)法不能使用的時(shí)候，可以考慮采用“棄九法”來(lái)得到答案。與尾數(shù)法類(lèi)似，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之和等于和的棄九數(shù)，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之差等于差的棄九數(shù)，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之積等于積的棄九數(shù)。

　　棄九數(shù)本質(zhì)上是原數(shù)除以9的余數(shù)，棄九法本質(zhì)上也是同余的性質(zhì)。

　　特別提示：算式中如果出現(xiàn)除法，請(qǐng)同樣不要使用棄九法。

　　例題2：河北行測(cè)真題

　　８６１２×７５６×６０６的值是：

　�。粒�９８５０３２０９２Ｂ．３５１０３２６２９２Ｃ．３９４５４６７２３２Ｄ．３６１０４９４０４２

　　【解析】方法一，棄九法。8612的棄九數(shù)為8，756的棄九數(shù)為0，606的棄九數(shù)為3，所以乘積的棄九數(shù)為0，驗(yàn)證選項(xiàng)，A項(xiàng)的棄九數(shù)為2，B項(xiàng)的棄九數(shù)為6，C項(xiàng)的棄九數(shù)為0，D項(xiàng)的棄九數(shù)為6，只有C項(xiàng)符合。

　　方法二，8612、756、606都能被2整除，所以它們的乘積能被８整除，驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)的末三位能否被8整除，選項(xiàng)中只有Ｃ滿(mǎn)足條件。

【內(nèi)容導(dǎo)航】

第1頁(yè)：河北省公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)輔導(dǎo)教材

第2頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第2章輔導(dǎo)教材：數(shù)量關(guān)系--數(shù)學(xué)運(yùn)算

第3頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第3章輔導(dǎo)教材：判斷推理--圖形推理

第4頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第4章輔導(dǎo)教材：判斷推理--邏輯判斷

第5頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第5章輔導(dǎo)教材：判斷推理--定義判斷

第6頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第6章輔導(dǎo)教材：判斷推理--類(lèi)比推理

第7頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第7章輔導(dǎo)教材：常識(shí)判斷

第8頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第8章輔導(dǎo)教材：言語(yǔ)理解與表達(dá)

第9頁(yè)：河北公務(wù)員考試行測(cè)第9章輔導(dǎo)教材：資料分析