一、分類(lèi)分步的解題原理

何為分類(lèi)分步，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，我要從長(zhǎng)沙去北京，完成這樣一件事情有三類(lèi)方法：一是坐火車(chē)過(guò)去，有3趟不同的火車(chē);二是坐汽車(chē)過(guò)去，有2趟不同的汽車(chē);三是坐飛機(jī)過(guò)去，有4趟不同的航班，那么我從長(zhǎng)沙到北京就一共有3+2+4=9種不同的方法。三類(lèi)方法每一類(lèi)都能單獨(dú)完成從長(zhǎng)沙到北京這件事情，所以把每一類(lèi)的方法數(shù)相加，這是分類(lèi)相加的原理。如果我需要從長(zhǎng)沙先到武漢，然后到北京，假設(shè)從長(zhǎng)沙到武漢有4種方法，從武漢到北京有3種方法，那么總方法數(shù)就有4×3=12種。這是分步相乘的原理。其特點(diǎn)是每一步都不可缺少，且每一步都不能單獨(dú)完成任務(wù)。

二、真題演練

分類(lèi)分步是相輔相成的，做題的時(shí)候一般是先考慮分類(lèi)再考慮分步。比如說(shuō)這樣一道題：

【例1】由1-9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有多少個(gè)?

A.432 B.504 C.639 D. 720

解析：三維數(shù)可以分成個(gè)、十、百三步去完成，首先完成個(gè)位，可以放任意的數(shù)字，一共有9種方法;然后完成十位，因?yàn)椴荒芎蛡�(gè)位一樣，所以去掉個(gè)位之后還剩下8個(gè)數(shù)字，共有8種方法;最后填百位，不能和十位以及個(gè)位相同，一共有7種方法。根據(jù)分步這道題相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，但是再加工一下就變得比較復(fù)雜了，如下題：

【例2】由0-9十個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有多少個(gè)?

A. 392 B.432 C.450 D.630

解析：分析一下這道題，題目要求是三位數(shù)，那么0這個(gè)數(shù)字就不能放在百位上了，也就是說(shuō)百位共有9種方法，而十位可以任意的放置，共有10種方法，個(gè)位必須是偶數(shù)，只有0、2、4、6、8這5種方法。但我們不能說(shuō)有9×10×5=450種方法。因?yàn)闂l件要求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字。按照分類(lèi)分步的想法，可以分成這兩類(lèi)：

①個(gè)位為0，那么此時(shí)十位有9中方法，百位有8種方法，分步相乘，共有9×8=72

②個(gè)位不為0，那么此時(shí)個(gè)位有4種方法，百位也不能為0，且不能和個(gè)位重復(fù)，共有8種方法，十位只要不和百位以及個(gè)位重復(fù)就可以，共有8種方法。分步相乘共有4×8×8=320種方法。

按照分類(lèi)相加，總方法數(shù)為72+320=392種。選A

【例3】現(xiàn)在要從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選出三個(gè)人來(lái)分別操作A、B、C三臺(tái)機(jī)器，已知甲不能操作A機(jī)器，乙只能操作C機(jī)器。丙和丁倆人都能熟練操作這3臺(tái)機(jī)器。問(wèn)一共有多少種安排方法。

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：根據(jù)例題2的分類(lèi)思路，這道題我們可以這樣去思考：C機(jī)器是一定要有人來(lái)操作的，如果我選了乙，他就只能去操作C機(jī)器，如果我沒(méi)選乙，C機(jī)器就安排別人來(lái)操作。所以可以分為一下兩類(lèi)：

①三人中有乙，此時(shí)剩余兩人不確定，但是因?yàn)闄C(jī)器是一定要有人來(lái)操作的，從機(jī)器的角度去思考，首先乙機(jī)器由乙來(lái)操作，只有1種方法;然后A機(jī)器不能由甲來(lái)操作，所以從丙和丁中選1人來(lái)操作A機(jī)器，有兩種方法，剩余的B機(jī)器從剩余的兩人中任意選一個(gè)就可以了，也有兩種方法。按照分步相乘，方法數(shù)為2×2=4種。

②三人中沒(méi)有乙，那就是選了甲丙丁三個(gè)人，此時(shí)A不能由甲操作，只能從丙丁中選一個(gè)人，有2種方法，B機(jī)器隨意，從剩下兩人中選一人，有2種方法，最后的一人去操作C機(jī)器。分步相乘共有2×2=4種方法。

再根據(jù)分類(lèi)相加，總方法數(shù)為4+4=8種。選D。

專(zhuān)家認(rèn)為，從這三個(gè)例題的思考方向來(lái)看，先分類(lèi)再分步是主要思路。分類(lèi)往往根據(jù)有限制的元素來(lái)進(jìn)行，考生在練習(xí)題時(shí)用這樣的思路去思考，相信能夠很快掌握。