同余在考試的時(shí)候也會(huì)經(jīng)常性的出現(xiàn)，它一般都是與整除思想相結(jié)合的，在備考的過(guò)程中要分清楚同余的幾種情況，同余特性經(jīng)常會(huì)與中國(guó)剩余定理混淆，所以在備考時(shí)要抓住兩者的區(qū)別點(diǎn)，避免考試時(shí)出錯(cuò)。

1.同余概念

兩個(gè)整數(shù)a和b，除以一個(gè)大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)相同，就稱a和b對(duì)于m同余。

例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21對(duì)于4同余。

2.同余特性

（1）余數(shù)的和決定和的余數(shù)

例：23、16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1。

（2）余數(shù)的差決定差的余數(shù)

例：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以 23-16=7除以5的余數(shù)等于2，即兩個(gè)余數(shù)的差3-1。

（3）余數(shù)的積決定積的余數(shù)

例：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。

（4）余數(shù)的冪決定冪的余數(shù)。

例：求2012²⁰¹²÷5的余數(shù)。

一個(gè)2012除以5余2，根據(jù)余數(shù)的積決定積得余數(shù)，所以2012²⁰¹²÷5的余數(shù)和2²⁰¹²÷5的余數(shù)是一樣的，又因?yàn)?²⁰¹²=16⁵⁰³，所以16÷5余1，所以2012²⁰¹²÷5的余數(shù)和1⁵⁰³÷5的余數(shù)一樣，都為1。

【例題1】已知a除以2余1，那么2⁷a+2003²除以2余幾？

A.1           B.2         C.3          D.4

【解析】2⁷是2的倍數(shù)，所以2⁷a是2的倍數(shù)，2003²除以2余1，則2⁷a+2003²除以2余0+1=1。答案選擇A。

【例題2】今天是星期六，請(qǐng)問(wèn)再過(guò)2010天是星期幾？再過(guò)2010²⁰¹⁰天是星期幾？再過(guò)2012²⁰¹²天是星期幾？

【解析】2010除以7余1，故再過(guò)2010天是星期日。又根據(jù)余數(shù)的冪決定冪的余數(shù)，所以2010²⁰¹⁰除以7的余數(shù)與1²⁰¹⁰除以7的余數(shù)相同，因此2010²⁰¹⁰除以7的余數(shù)為1，所求為星期日。同理，根據(jù)余數(shù)的冪決定冪的余數(shù)，2012除以7余3，所以2012²⁰¹²除以7的余數(shù)與3²⁰¹²除以7的的余數(shù)相同，又因?yàn)?的平方為9，9除以7余數(shù)為2，3²⁰¹²=9¹⁰⁰⁶，所以最終的余數(shù)取決于2¹⁰⁰⁶ =8³³⁵ ×2=1³³⁵×2=2，即為2，所以所求為星期一。

同余特性的四條內(nèi)容經(jīng)常與中國(guó)剩余定理的四條混淆，所以考生要加強(qiáng)練習(xí)，避免考試出錯(cuò)。